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Análisis Matemático 66

2025 CABANA

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA

Práctica 4 - Estudio de funciones

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4.1. Realizar el análisis completo de las siguientes funciones ff definidas por y=f(x)y=f(x) teniendo en cuenta:
- Dominio e Imagen;
- Asíntotas: verticales, horizontales y oblicuas;
- Extremos locales y puntos silla;
- Intervalos de crecimiento y decrecimiento;
- Graficar.
n) f(x)=x1+x2f(x)=\frac{x}{1+x^{2}}

Respuesta

Vamos a hacer un análisis completo de la función f(x)=x1+x2f(x)=\frac{x}{1+x^{2}} siguiendo la estructura que vimos en las clases de Estudio de funciones\textbf{Estudio de funciones}: 1)\textbf{1)} Identificamos el dominio de f(x)f(x)

En este caso fijate que tenemos que pedir que 1+x2≠01+x^{2} \neq 0. Sin embargo, esta expresión nunca vale cero, para ningún real. Por lo tanto el dominio de ff es todo R\mathbb{R}

2)\textbf{2)} Estudiamos la existencia de asíntotas verticales, horizontales y oblicuas - Asíntotas verticales: Como el dominio es R\mathbb{R}, esta función no tiene asíntotas verticales
  - Asíntotas horizontales: Tomamos los límites cuando xx tiende a ±∞\pm \infty

lim⁡x→+∞x1+x2=0 \lim_{x \to +\infty} \frac{x}{1+x^2} = 0 lim⁡x→−∞x1+x2=0 \lim_{x \to -\infty} \frac{x}{1+x^2} = 0 Por lo tanto, hay una asíntota horizontal en y=0 y = 0 .

3)\textbf{3)} Calculamos f′(x) f'(x) :

f′(x)=(1+x2)−x(2x)(1+x2)2= 1+x2−2x2(1+x2)2= 1−x2(1+x2)2  f'(x) = \frac{(1+x^2) - x(2x)}{(1+x^2)^2} = \frac{1+x^2 - 2x^2}{(1+x^2)^2} = \frac{1 - x^2}{(1+x^2)^2} 

4)\textbf{4)}Igualamos f′(x) f'(x) a cero para obtener los "puntos críticos", nuestros candidatos a máximos y mínimos:

1−x2(1+x2)2=0 \frac{1 - x^2}{(1+x^2)^2} = 0 1−x2=0 1 - x^2 = 0

Terminando de despejar, los puntos críticos en este caso son x=−1x=-1 y x=1x=1

5)\textbf{5)} Dividimos la recta real en intervalos donde sabemos que f′(x)f'(x) es continua y no tiene raíces:

a) x<−1 x < -1 b) −1<x<1 -1 < x < 1 c) x>1 x > 1

6)\textbf{6)} Evaluamos el signo de f′(x) f'(x) en cada uno de los intervalos:

- Para x<−1 x < -1 ,  f′(x) f'(x) es negativa y f(x) f(x) es decreciente - Para −1<x<1 -1 < x < 1 , f′(x) f'(x) es positiva y f(x) f(x) es creciente. - Para x>1 x > 1 , f′(x) f'(x) es negativa y f(x) f(x) es decreciente.

Con toda la información que tenemos ya podemos graficar f(x)f(x). Te dejo acá abajo el gráfico hecho en GeoGebra.

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