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Análisis Matemático 66
2024
CABANA
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA
4.1.
Realizar el análisis completo de las siguientes funciones $f$ definidas por $y=f(x)$ teniendo en cuenta:
n) $f(x)=\frac{x}{1+x^{2}}$
- Dominio e Imagen;
- Asíntotas: verticales, horizontales y oblicuas;
- Extremos locales y puntos silla;
- Intervalos de crecimiento y decrecimiento;
- Graficar.
n) $f(x)=\frac{x}{1+x^{2}}$
Respuesta
Vamos a hacer un análisis completo de la función $f(x)=\frac{x}{1+x^{2}}$ siguiendo la estructura que vimos en las clases de $\textbf{Estudio de funciones}$:
$\textbf{1)}$ Identificamos el dominio de $f(x)$
Reportar problema
En este caso fijate que tenemos que pedir que $1+x^{2} \neq 0$. Sin embargo, esta expresión nunca vale cero, para ningún real. Por lo tanto el dominio de $f$ es todo $\mathbb{R} $
$\textbf{2)}$ Estudiamos la existencia de asíntotas verticales, horizontales y oblicuas
- Asíntotas verticales: Como el dominio es $\mathbb{R}$, esta función no tiene asíntotas verticales
- Asíntotas horizontales: Tomamos los límites cuando $x$ tiende a $\pm \infty$
\( \lim_{x \to +\infty} \frac{x}{1+x^2} = 0 \)
\( \lim_{x \to -\infty} \frac{x}{1+x^2} = 0 \)
Por lo tanto, hay una asíntota horizontal en \( y = 0 \).
$\textbf{3)}$ Calculamos \( f'(x) \):
\( f'(x) = \frac{(1+x^2) - x(2x)}{(1+x^2)^2} = \frac{1+x^2 - 2x^2}{(1+x^2)^2} = \frac{1 - x^2}{(1+x^2)^2} \)
$\textbf{4)}$Igualamos \( f'(x) \) a cero para obtener los "puntos críticos", nuestros candidatos a máximos y mínimos:
\( \frac{1 - x^2}{(1+x^2)^2} = 0 \)
\( 1 - x^2 = 0 \)
Terminando de despejar, los puntos críticos en este caso son $x=-1$ y $x=1$
$\textbf{5)}$ Dividimos la recta real en intervalos donde sabemos que $f'(x)$ es continua y no tiene raíces:
a) \( x < -1 \)
b) \( -1 < x < 1 \)
c) \( x > 1 \)
$\textbf{6)}$ Evaluamos el signo de \( f'(x) \) en cada uno de los intervalos:
- Para \( x < -1 \), \( f'(x) \) es negativa y \( f(x) \) es decreciente
- Para \( -1 < x < 1 \), \( f'(x) \) es positiva y \( f(x) \) es creciente.
- Para \( x > 1 \), \( f'(x) \) es negativa y \( f(x) \) es decreciente.
Con toda la información que tenemos ya podemos graficar $f(x)$. Te dejo acá abajo el gráfico hecho en GeoGebra.